Примеры решения .

53 Найти неопределенный интеграл

Применяли формулу интегрирования по частям

63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Решение:
Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии
гипербола, прямая, .
Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:
и

Значит фигура ограничена сверху функцией снизу функцией на
интервале от 1 до 4.

Площадь
Ответ: .
73. Найти общее решение дифференциального уравнения.
. Это уравнение однородное решается с помощью подстановки , тогда
. Подставим полученные выражения в уравнение полученное из исходного
делением обеих частей на .

Ответ:

Составляем характеристическое уравнение

тогда
Ответ:
83 Исследовать сходимость числового ряда.
Решение:
. В этом задании и
Применим признак Даламбера. Найдем , так то ряд расходится по
признаку Даламбера.
Ответ: ряд расходится.
93. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение:
Здесь .
Применим признак Даламбера. Найдем
Ряд сходится если или то есть .
Проверим сходимость на концах этого интервала при

Найдем предел значит в силу теоремы о необходимом условии сходимости
данный ряд расходится.
Исследование при аналогично. Тоже получится, что предел n-ного члена
при n стремящемся к бесконечности не равен нулю.
Ответ: ряд сходится при . На границах интервала он расходится.
103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью
до 0,001

Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:
, тогда
Почленно проинтегрируем данный ряд Ответ: