Решение задач по прикладной математике .

МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
                              РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ



                             КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

                      По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»



                                                 Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241
                                                               Лебедев Н. В.

                                                         Проверил: профессор
                                                               Г. И. Королев



                               Рязань 2003 г.
Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и
формулу Бернулли.
1. Число грузовых  автомобилей,  проезжающих  по  шоссе,  на  котором  стоит
бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых  автомобилей  как  3:2.
Вероятность того, что будет заправляться  грузовой  автомобиль,  равна  0.1.
Для легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке  подъехала
для заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.

Решение.
Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А -  к  бензоколонке
подъехал автомобиль.
Тогда гипотезы:
Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.
Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль
Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6;
Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4
По условию
Р(А/Н1)=0.1
Р(А/Н2)=0.2
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6  0.1 + 0.4   0.2  =  0.06  +
0.08 = 0.14
P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2   0.4/ 0.14 ~ 0.57

2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями  равна  0.8.
Найти вероятность того, что к  установленному  сроку  счета  не  оплатят  не
более трех потребителей.

Решение.
«Оплатят не более трех потребителей», это  значит,  что  возможны  следующие
варианты событий:
счета оплатят 0 – потребителей,
                        1 - потребитель,
                        2 - потребителя,
                        3 – потребителя.

По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.
P_n(k) = C_n(k)  pk  (1-p)(n-k),     где C_n(k) = 
n = 6, p = 0.8

1.      C_6(0) = = = 1
P_6(0) = C_6(0)  0.80  (1-0.8)(6-0)  =   1    1  0.26  =
0.000064
2. C_6(1) = = = 6
P_6(1) = C_6(1)  0.81  (1-0.8)(6-1) =  6  0.8    0.25  =
0.001536
3. C_6(2) = = =   = 15
P_6(2) = C_6(2)  0.82  (1-0.8)(6-2) =  15  0.64  0.24  =
0.01536
4. C_6(3) = = =   = 20
P_6(3) = C_6(3)  0.83  (1-0.8)(6-3) =  20  0.512    0.23
= 0.08192
P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064  +  0.001536  +  0.01536  +
0.08192 = = 0. 09888 0.099 - вероятность  того,  что  к  установленному
сроку счета не оплатят не более трех потребителей.

Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.

X1          800   1000   1200   1400   1600   1800   2000

n1                1     8     23     39     21      6       2

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X вычисляется по
формуле ?x = , где  – дисперсия случайной величины X.

 = 
  - математическое ожидание случайной величины X.
800 1 + 1000  8 + 1200  23 + 1400  39 + 1600 
21 + 1800  6 + 2000      2 =  139400
  =  (800  -  139400)   1  +  (1000  -  139400)    8  +
(1200  -  139400)  23  +  (1400 - -139400)  39 + (1600 - 139400)
21 + (1800 - 139400) 6 + (2000 - 139400) 2 =
= 19209960000  +  153236480000   +   439282520000  +  742716000000  +
398765640000 +  + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000
?x =  1380062

Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
Для производства двух видов изделий  используются  три  вида  сырья,  запасы
которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С.  Нормы  расхода
сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в  матрице  А  ,  где
строки соответствуют виду сырья,  а  столбцы  –  виду  изделия.  Прибыль  от
реализации изделий указана в матрице P.

Составить  план  производства  изделий  так,  чтобы   предприятие   получило
максимальную прибыль от их реализации.

         5  9                  7710
    А =        9 7             C  =    8910                   P = ( 10  22
)
               3      10                   7800

Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х1+22х2.
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу  5х1+9х2?7710.
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу   9х1+7х2 ?8910.
Затраты ресурсов  3-го  вида  на  производственную  программу       3х1+10х2
?7800.
Имеем
       5х1+9х2 ? 7710
       9х1+7х2 ? 8910
      3х1+10х2 ? 7800
где по смыслу задачи х1?0, х2?0.
Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее  решения  систему
неравенств  при  помощи  дополнительных  неизвестных  х3,  х4,  х5   заменим
системой линейных алгебраических уравнений
      5х1+9х2+х3 = 7710
      9х1+7х2+х4 = 8910
      3х1+10х2+х5= 7800
где  дополнительные  переменные   имеют   смысл   остатков   соответствующих
ресурсов, а именно
      х3 – остаток сырья 1-го вида,
      х4 – остаток сырья 2-го вида,
      х5 – остаток сырья 3-го вида.
Среди   всех   решений   системы    уравнений,    удовлетворяющих    условию
неотрицательности
х1?0, х2?0, х3?0, х4?0, х5?0, надо найти то  решение,  при  котором  функция
L=10х1+22х2  будет иметь наибольшее значение.
Ранг матрицы системы уравнений равен 3.
               5     9     1     0    0
    А =        9     7     0     1    0
               3     10   0     0    1



Следовательно,  три переменные (базисные) можно выразить через две
(свободные), т. е.
      х3 = 7710 - 5х1 - 9х2
      х4 = 8910 - 9х1- 7х2
            х5= 7800 - 3х1 - 10х2
Функция L = 10х1+22х2  или L - 10х1 - 22х2  = 0 уже выражена через эти же
свободные переменные. Получаем следующую таблицу.
                                                                  Таблица 1.
|Базисные    |Свободные  |х1      |х2      |х3      |х4      |х5      |
|переменные  |члены      |        |        |        |        |        |
|            |           |        |        |        |        |        |
|х3          |           |5       |9       |1       |0       |0       |
|            |7710       |        |        |        |        |        |
|            |8910       |9       |7       |0       |1       |0       |
|х4          |           |        |        |        |        |        |
|            |7800       |3       |10      |0       |0       |1       |
|х5          |           |        |        |        |        |        |
|            |0          |-10     |-22     |0       |0       |0       |
|L           |           |        |        |        |        |        |

Находим  в  индексной  строке  отрицательные  оценки.  Выбираем  разрешающий
элемент.
В результате получаем следующую таблицу.
                                                                  Таблица 2.
|Базисные    |Свободные  |х1      |х2      |х3      |х4      |х5      |
|переменные  |члены      |        |        |        |        |        |
|            |           |        |        |        |        |        |
|х3          |           |        |9       |1       |0       |0       |
|            |7710       |5       |        |        |        |        |
|х4          |           |1       |7/9     |0       |1/9     |0       |
|            |990        |        |        |        |        |        |
|х5          |7800       |3       |10      |0       |0       |1       |
|L           |0          |-10     |-22     |0       |0       |0       |



                                                                  Таблица 3.
|Базисные    |Свободные  |х1      |х2      |х3      |х4      |х5      |
|переменные  |члены      |        |        |        |        |        |
|            |           |        |        |        |        |        |
|х3          |           |0       |        |1       |-5/9    |0       |
|            |2760       |        |46/9    |        |        |        |
|х1          |990        |1       |7/9     |0       |1/9     |0       |
|х5          |4830       |0       |69/9    |0       |-1/3    |1       |
|L           |9900       |0       |-128/9  |0       |10/9    |0       |

                                                                  Таблица 4.
|Базисные    |Свободные  |х1      |х2      |х3      |х4      |х5      |
|переменные  |члены      |        |        |        |        |        |
|            |           |        |        |        |        |        |
|х2          |           |0       |1       |9/46    |        |0       |
|            |540        |        |        |        |-5/46   |        |
|            |570        |1       |0       |-7/46   |9/46    |0       |
|х1          |           |        |        |        |        |        |
|х5          |           |0       |0       |-3/2    |1/2     |1       |
|            |690        |        |        |        |        |        |
|L           |17580      |0       |0       |128/46  |-10/23  |0       |

                                                                  Таблица 5.
|Базисные    |Свободные  |х1      |х2      |х3      |х4      |х5      |
|переменные  |члены      |        |        |        |        |        |
|            |           |        |        |        |        |        |
|х2          |           |0       |1       |-3/23   |0       |10/46   |
|            |690        |        |        |        |        |        |
|            |300        |1       |0       |10/23   |0       |-81/46  |
|х1          |           |        |        |        |        |        |
|            |1380       |0       |0       |-3      |1       |2       |
|х4          |           |        |        |        |        |        |
|L           |18780      |0       |0       |34/23   |0       |20/23   |

Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что
мы получили оптимальную производственная программу:
х1 = 300,  х2 = 690,  х3 = 0,  х4 = 1380,  х5 = 0

Остатки ресурсов:
      Первого вида – х3=0;
      Второго вида – х4=1380;
      Третьего вида – х5=0
Максимальная прибыль Lmax=18780.