Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия .

                   1. Матрицы. Терминология и обозначения.
 Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов  м-цы  Ai,j,
записанных в виде прямоугольной таблицы:
 
 Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j,  amj  –  jтым
столбцом.
 М-ца размером 1хп – называется строкой,  вектором;  м-ца  размером  mx1  –
столбцом. Если  размерность  пхп  –  матрица  называется  квадратной.  Набор
элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п,  а1,п-1,
ап1 – побочную  диагональ.  М-ца  все  эл-ты,  которой  =  0  наз.  нулевой.
Квадратная  м-ца,  элементы  главной  диагонали  которой  равны  1,  а   все
остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е
 Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их  размеры  и  их
элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.
                           2. Действия с матрицами
        1) Сложение
Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:
Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)
C=A+B (размер всех м-ц: mxn)
        2) умножение м-цы на число
Произведение м-цы А = (Aij) размера  mxn  на  число  С  называется  матрица:
B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:
Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)
В=С(А
вычитание:
С=А+(-)В = А-В
        3) умножение м-ц
А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В  называют
м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:
Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ
С=АВ. Можно записать так:

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА
Св-ва умножения м-цы:
(АВ)С=А(ВС)
А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение  двух  прямоугольных  матриц  существует,  если  их  внутренние
размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.
               3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы
Сумму Н всех элементов  квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:
1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

отсюда вытекает, что

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

называется транспонированной по отношению к м-це А=

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы
в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm
Св-ва операции транспонирования.
1 (АТ)Т=А
2 (А+В)Т=АТ+ВТ
3 (СА)Т=САТ (С-число)
4 (АВ)Т=АТ(ВТ
                   4. Элементарные преобразования матрицы.
1 Переставление двух строк
2 Умножение строки на не равное 0 число В
3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.
Также производят элементарные преобразования столбцов.
   5. Матрицы элементарных преобразований.
С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы
элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:
1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк
например м-ца:
получена перестановкой 2 и  4 строки
2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на
произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке



3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:
 Основное   св-во   матриц   элементарных    преобразований    Элементарное
преобразование произвольной  матрицы  равносильно  умножению  этой  м-цы  на
матрицу элементарных преобразований

 Элементарные преобразования строк м-цы А
 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j
 2 Умножение м-цы А на м-цу второго  типа  слева  равносильно  умножению  j
строки м-цы А на число В
 3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой  строки,  умноженной  на  число  С
равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

 Элементарные преобразования столбцов м-цы А
 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы  с  номерами
I,j
 2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа  справа  равносильно  умножению  j
столбца м-цы А на число В.
 3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С
равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.
                               6. Определители
С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.
Определителем м-цы второго порядка:
                                    
наз число: а11(а22-а12(а21
Определитель м-цы третьего порядка:
=
=
также можно восп правилами треугольника:



Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен,
определитель м-цы порядка n будет равен:
D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1
где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется
дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1
столбца и j  строки.  Это называется разложением определителя по 1 ому
столбцу.

число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в
определителе [А]  с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно
записать так:

Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на
их алгебраический дополнитель.
   7. Свойства определителя
1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]
отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны  с  точки  зрения  свойств
определителя.
2 Линейность
Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:
                                    
тогда D=fD’+lD’’
где:        
отличаются от D только I-тыми строками.
3 Антисимметричность если определитель В* получен  из  опр  В  перестановкой
строк, то В* = -В
4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0
5 Умножение  строки  определителя  на  число  равносильно  умножению  самого
определителя на это число
6 определитель с 0 строкой = 0
7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки  на  число  не
равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)
8 Если к строке определителя прибавить  другую  его  строку,  умноженную  на
какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.
9 Сумма  произведения  эл-тов  строки  определителя  на  алгебр.  дополнение
соответствующих элементов другой строки опр  = 0
   8. Обратная матрица
Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.
М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:
В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы  Aji,
эл-та аji в м-це А.
М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и  обладает  следующими  св-
вами:
АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)
Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:
АА-1=I, А-1А=I
М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I,  ХА=I,
где - неизвестная матрица.
Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями  строк  можно
привести к единичной матрице
1 Привести к треугольному виду
2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам
3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1  строке  последнюю  умноженную
на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится  к  матрице  у  которой  все  эл-ты  п-ного
столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.
2 метод построения  обратной  м-цы  путем  составления  расширенной  матрицы
(метод Жордана)
1  составляется  расширенная  матрица,  приписывая  к  матрице  А  единичную
матрицу I того же порядка т. е. получаем  м-цу  (А|I)  элементарными  преобр
строк  м-ца  А  приводится  к  треугольному  виду,  а  потом  к  единичному,
полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А


15. Понятия связанного и свободного векторов.
Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно  перемещать  в  двух
направлениях:  если  считать  А  началом,  а  т.  В  –  концем,  то  получим
направленный отрезок  АВ,  а  если  т.  В-  начало,  а  т.  А  –  конец,  то
направленный отрезок ВА. Направленный  отрезок  часто  наз.  связанными  или
закрепленными  векторами.  В  случае,  когда  начальная  и  конечная   точка
совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..
Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД  и  ВС  совпадают
обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда  т.  А,В,С,Д  не  лежат  на  одной
прямой это равносильно тому,  что  четырехугольник  АВСД  –  параллелограмм.
Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.
Св-ва связанных в-ров:
1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ
2 Если АВ=СД, то и СД = АВ
3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF
От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.
Свободные в-ры – те, начальную точку  которых  можно  выбирать  произвольно.
или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно  самим
себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.
Обоз свободные в-ры малыми  латинскими  буквами  и  стрелкой  сверху.  Нуль-
вектор обоз 0 со стрелкой.
Если задан в-р а и т. А, сущ ровно  1  т.  В,  для  которых  АВ=а.  Операция
построения  связанного  в-ра  АВ,  для  которой  выполнено   это   равенство
называется  откладывание  свободного  в-ра  а  от  т.  А.  Связанные   в-ры,
полученные в результате операции откладывания равны  между  собой.  И  имеют
одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0,  Если
а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.
  16. Линейные операции над в-рами
1 сложение в-ров
Пусть даны в-ры: а и в
от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный  в
результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-
ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы:  правило
треугольник и правило параллелограмма.
Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:
(а+в)+с=а+(в+с),
2 Умножение в-ра на число
Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные  в-ры
лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные  в-
ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А,  В  будут  лежать  на  одной
прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону  от  т.  О
или  по  разные  стороны.  В  первом  случае  в-ры  а  и  в  наз   одинаково
направленными, во втором – противоположно  направленными.  если  в-ры  имеют
равные длины и одинаково направлены, то они равны.
Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что
1 длина его |b|=|C|(|a|
2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если  С>0  (C<0).  –  М.:
Обозн в=С(а. При С=0 положим, что Са=0.
Св-ва умножения
1 (С+Д)(а=С(а+Д(а
2 С((Д(а)=(С(Д)(а
3 С((а+в)=С(а+С(в (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)
В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0,  его
длина |a0|=1
Если а ( 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.
Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а
а+(-а)=0; -а= (-1)(а
3 вычитание в-ров
разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а
а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.
1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма,  построенного  на  в-
рах а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.
Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом  между  в-
рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ
Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.
  17. Координаты и компоненты в-ра
Обозначаем  в  прямоугольной  декартовой  системе  координат   положительные
направления  осей  OX,OY,OZ  единичными  в-рами   :   i,   j,   k,   попарно
ортогональными и равными единице.
Найдутся числа x,y,z, для которых:
а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису
Эти  в-ры  называются  ортонормированным  базисом.  Для   каждого   в-ра   а
разложение  по  орто-базису  единственно,  т.  е.   коэффициенты   x,y,z   в
разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти  коэффициенты
наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А
a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно  задается  упорядоченной  тройкой
своих коэффициентов
В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а.  Два  в-
ра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.
Радиус-вектором в  т.  М(x,y,z)  называется  вектор  r=xi+yj+zk,  идущий  из
начала коорд т. О в т. М
Линейные операции над в-рами в координатах.
Имеем  2  в-ра  а={x1,y1,z1}   b={x2,y2,z2},   таких,   что   а=x1i+y1j+z1k,
b=x2i+y2j+xz2k
сумма будет:
a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k
a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}
при сложении в-ров их координаты попарно  складываются.  Для  вычитания  так
же.
С(а={Cx1,Cy1,Cz1}
при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.
В-ры  а  и  в  коллинеарны  тогла  и  только  тогда,  когда  их   координаты
пропорциональны.
  18. Проекция в-ра на ось
Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.
Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число,  обозначаемое:  (АВ)
и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр  АВ  совп  с  напр.
прямой и со знаком – если не совп.
Проекцией  в-ра  АВ  на  ось  l  наз  величина,  направленного  отрезка  СД,
построенного  опусканием  перпендикуляров  из  в-ра  АВ  на  ось  l,  обозн:
PrlAB=(СД)
Свойства проекции:
1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на  косинус
угла между осью и этим в-ром.
PrlAB=|AB|(cos(
2 Проекция на ось l в-ра С(а =С( Prlа, С- произв. число.
3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров  на  эту  же
ось
  19. Скалярное пр-е в-ра
  20. Векторное пр-е в-ра
  21. Смешанное пр-е в-ров
  22. Деление отрезка в данном отношении
т М ( В делит отрезок [АВ] в отношении (, если АМ = (( АВ. Т. М  расположена
на Ав при этом, если
1 М внутренняя точка АВ, то (  >0 (случайц внутреннего деления)
2 М=А, (  = 0
3 М лежит вне Ав, (  <0 (случай внешнего деления)
Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном  из  вариантов
( ( -1
Если  А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и  М  –  делит  АВ  в  отн  (,
тогда:
это  соотношение  в  координатной  форме   имеет   вид:   для   А(x1,y1,z1),
B(x2,y2,z2) и M(x,y,z)



Если М – середина АВ, то ( =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:



Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и  задачу
решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ,  тор  первой  ф-
лой.
           23. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой
Если взять на плоскости фиксированную точку О  и  какую-либо  прямую  L,  то
положение этой прямой относительно плоскости будет  определено  если  задать
расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра  из   т.
О на эту прямую; и единичный вектор  n0=1  –  перпендикулярный  прямой  L  и
направленный из начальной т. О к этой прямой.



Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется  так,  что
проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:
это соотношение выполняется для каждой  точки  прямой  L  и  нарушается
когда т. М лежит вне ее.
Заметив, что: это можно записать так:
 (2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением  прямой
в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной  точки  прямой  наз.  текущим
радиус в-ром прямой.
Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее  начало  в  т.
О, в-ры r, n0 можно записать так:
n0={cos(, sin(}; r={x,y}
уравнение (2) примет вид:
  (3)  это  нормальное   уравнение   прямой   в   координатной   форме,
относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым  в  Декартовой
прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем  1  степени
относительно переменных х и у верно и обратное.
Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А2+В2 ( 0
если домножить его на постоянный множитель (, положа:
((А= cos(, ((В= sin(, ((С = -р, где:


называется нормирующим множителем.
И уравнение получается нормальным .Общее  уравнение  (4)  определяет  прямую
как множество точек М плоскости декартовы координаты  которых  удовлетворяют
этому уравнению.
Нормальный в-р прямой -  всякий ненулевой (не  обязательно-  единичный)  в-р
перпендикулярный этой прямой. Вектор n =  {A,B}  будет  нормальным  вектором
прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и  В  при  текущих
координатах х и у являются координатами нормального в-ра  этой  прямой.  Все
отсальный  нормальные  в-ры  прямой  можно  получить  умножая   в-р   n   на
произвольное ( 0 число.
     24. Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку
                   перпендикулярно заданному направлению.
Для того, чтобы найти ур-е  прЯмой  L,  проходящей  через  т.  М0,  заданную
радиус-вектором  r0={x0,y0},  перпендикулярную  вектору   n={A,B},  проведем
радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой
в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру  n,  поэтому
их скалярное пр-е = 0
(r-r0)( n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М  принадлежащих  прямой
и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным  уравнением
исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой  в
коорд форме:
A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)
          25. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..
Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я   Ах+Ву+С=0  равен  0,  ур-е
наз. неполным. По виду уравнения прямой  можно  судить  о  ее  положении  на
плоксоти ОХУ. Возможны случаи:
1 С=0 L: Ax+By=0 т.  О(0,0)  удовлетворяет  этому  уравнению  значит  прямая
проходит через начало координат
2 А=0 L: Ву+С=0 -  нормальный в-р  n={0,B}  перпендикулярен  оси  ОХ  отсюда
следует, что прямая параллельна ось ОХ
3 В = 0 L: Ay+C=0 0 -  номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY  отсюда
следует, что прямая параллельна ось ОУ
4 А=0, С=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A ( 0, В ( 0, С ( 0 L; - не проходит через начало координат  и  пересекает
обе оси.
                26. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если общее уравнение прямой, при В ( 0 переписать в виде:
и приравняв:

 и получим ур-е с угловым коэффициентом
у=кх+b (10), где число к = tg(, ( - величина угла наклона прямой к  оси  ОХ,
угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению  часовой  стрелки
от положительного направления оси ОХ до данной прямой.
В случае L||ОХ, или L=OX, (=0
В случае L||ОY, или L=OY, (=П/2 и угловой коэффициент не существует.
    27. Ур-е прямой, проход через данную т., с данным угловым коэфф. Ур-е
                    прямой проход через две данные точки.
Если прямая задана  т  М0(х0,  у0)  и  угловым  коэффициентом  к,  тогда  на
основании ур-я (10) можно получить ур-е искомой прямой:
у-у0=к(х-х0) (11)
Ур-е прямой проходящей через две заданных точки
Зададим прямую точками  М1(х1,у1) и М2(х2,у2), х1 ( х2. М1 и М2  принадлежат
прямой, откуда следует:
у-у1=к(х-х1) для М1и у-у2=к(х-х2) для М2
откуда:
(12) Эта ф-ла позволяет вычисли ть  угловой  коэффициент,  зная  коорд  двух
точек.
Если у1 ( у2, то подставляя  к  из  ф-лы  (12)  в  равенство:  у-у1=к(х-х1),
получаем:
(13) Искомое уравнении прямой, проход через две заданных точки.
  28. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстоянием от т. М* до прямой L наз. длину отрезка М*N – перпендикуляра  L(
опущенного из т. М* на эту прямую.
Если М*(х*, у*) – заданная точка,
а  - нормальное ур-к прямой L, то расстояние от М* до L выч. по ф-ле:
d=d(M*,L)=|x*cos(+y*sin(-p| (14)
 d=d(M*,L)=|rx(n0 -p|
обозначим через ((M*,L)= rx(n0 –p= x*cos(+y*sin(-p т. е.: d(M*,L)= |(|
по знаку ( можно судить о расположении точек О и М*, относительно прямой L:
Если О и М* расположены по разные стороны относительно прямой, то (  >  0  ,
если по одну сторону – то (<0.  Величина ( называется отклонением т.  М*  от
прямой L.
Если прямая задана общим уравнением, то расстояние вычисляется по ф-ле:

  29. Уравнение прямой в отрезках
Рассматривая общее ур-е прямой, при А,В,С ( 0, переписав его в виде:
 и  положив
а = - С/A в = - С/В получим ур-е прямой в отрезках:
 (16)



Для нахождения т. М1 пересечения  прямой (16) с осью  ОХ  достаточно  решить
систему уравнений:

для пересечения с осью ОУ получаем:

Параметры а и в в(16) определяют величину отрезков  Ом1  и  ОМ2,  отсекаемых
прямой от осей координат.
  30. каноническое уравнение прямой
Ненулевой в-р коллинеарный прямой называется ее направляющим в-ром.
Из аксиом следует, что через заданную точку проходит только  одна  прямая  с
заданным направляющим в-ром.
 Прямая L, с направл. в-ром S  проходящая  через  т.  М0(х0,  у0).  проходит
через т. М(х,у) тогда и только тогда, когда в-ры М0М и S  0  коллинеарны  т.
е. М0М=tS, t(R) (17) Это ур-е наз векторным уравнением прямой.
Если М0(х0, у0), М(х,у) – текущие точки прямой L;   S={m,n}  –  направляющий
вектор прямой , тогда в-р М0М = {x-x0, y-y0}
Записав условия коллинеарности из (17) в векторной форме  получим:  x-x0=tm,
y-y0=tn или:
(18) Ур-е наз. каноническим ур-ем прямой на плоскости.
Обозначает лишь пропорциональность и в случае,  когда  m  =  0  или  n  =  0
равносильно ур-ям:  х-х0=0 или у-у0=0 соответственно.
  31. Параметрическое уравнение прямой на плоскости.
Представляет собой другую форму записи ур-я (17)
пусть r=ОМ, а r0=OM0  –  радиус  в-ры  точек  М  и  М0  относительно  начала
координат, тогда М0М = r-r0 и ур-е (17) зап. в виде: r=r0+tS, t(R
или в координатной форме, в системе ОХУ:
(20), t(R
ур-я (19) и (20) наз параметрическими  уравнениями  прямой  на  плоскости  в
векторной и координатной формах.
  32. Угол между двумя прямыми на плоскости.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости
а) прямые L1 L2 заданы общими уравнениями
L1:=А1х+В1у+С1=0, А12+В12>0
L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0
((угол между  ними)=  углу  между  их  нормальными  в-рами  n1  ={A1,B1}   и
n2={A2,B2}
оттуда вытекает, что

L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2
A1=(A2, B1=(B2



L1 ( L2 ( n1 (  n2( n1(n2 =0 (
( A1(A2+B1(B2=0
б) прямые заданы каноническим уравнением



угол между ними равен углу между их направляющими векторами:
S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:
L1|| L2 ( S1 || S2



L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 (
m1(m2+n1(n2=0
в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом
L1:= у=к1х+в1
L2:= у=к2х+в2
за  угол  между  прямыми  принимаемся  наименьший  угол  на  который   нужно
повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2  вокруг
т. пересечения прямых.
Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых  L1 и L2 к оси ОХ
Угол между прямыми (= (2- (1

tg(1=k1, tg(2=k2

L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2
L1 ( L2 ( (=П/2
k2=  -1/k1
  33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.
Зафиксировав  неку  т.  О  в  пространстве  положение  плоскости   П   будет
определено, если задать следующие величины: расстояние до нее  от  начальной
т. О, т. е. длину р отрезка  ОТ,  перпендикуляра,  опущенного  из  т.  О  на
плоскость П и единичный в-р  n0,  |n0|=1,  перпендикулярный  плоскости  П  и
направленный из начальной т. О к этой плоскости.
Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что
prn0 OM=p (1)
это соотношение  вып  для  каждой  т.  принадлежащей  плоскости,  а  для  не
принадлежащей – нарушается.
(1) являет уравнением этой Плоскости П
prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2)
ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной  форме.  Радиус-вектор
r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.
Введем в пространстве прямоугольную Декартову  систему  координат,  поместив
ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0  можно  записать  так:  n0={cos(,  cos(,
cos();
r={x,y,z}
Ур-е (2) примет вид:
x(  cos(  +y(cos(+z(cos(-p=0  (3)  –  нормальное   уравнение   плоскости   в
координатной форме
Особенности ур-я (3)
1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:
cos2(+cos2(+cos2(=1
2 свободный член (-р) (0
Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.
Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость
Ур-е:
Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.
Всякий  ненулевой,  перпендикулярный  плоскости   вектор   наз.   нормальным
вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный  в-р  плоскости,  заданной
ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в  ур-е  (4)  являются
координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные  вектора
получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число.
  34.  Ур-е  плоскости  проходящей  через  заданную  точку   перпендикулярно
      заданному направлению
Уравнение  плоскости,  проходящей  через  т.  М0,  заданной   r0={x0,y0,x0},
перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:
Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-
r0 лежит в  плоскости  П  и  значит  перпендикулярен  в-ру  n.,  поэтому  их
скалярное пр-е = 0
(r-r0)(n=0  (1)  Рав-во  (1)  справедливо  для  всех  т.  М  плоскости  П  и
нарушается если  М  не  принадлежит  этой  плоскости,  тем  самым  –  (1)  –
векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме  это  выражается
так:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0
  35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости
По виду общего ур-я можно судить о  том  как  лежит  плоскость  относительно
системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я =  0,
то оно наз. неполным.
Возможны случаи:
1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому  уравнению  значит  прямая
проходит через начало координат
2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 -  нормальный  в-р  n={0,B,C}  перпендикулярен  оси  ОХ
отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ
3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0  -  нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси  ОY
отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ
4  С=0  П:  Ax+By+D=0,  n={А,B,0}  перпендикулярен   OZ(П   ||OZ   плоскость
параллельна оси OZ
5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= - D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ
6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY
7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= - D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ
8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O (  П значит П= OXY
9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O (  П значит П= OXZ
10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O (  П значит П= OXY
11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; - не параллельна ни одной  из  осей  и  пересекает
их.
  36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки
Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие  на  одной  прямой.
Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.
r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и  r={x,y,z}  –  радиус  векторы
данных точек.
В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1   их  смешанное
произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:
(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)
а ее координаты линейному уравнению:
 (11)
ур-е  (10)  векторное,  а  ур-е  (11)  –  координатные   уравнения   искомой
плоскости.
  37. Уравнение плоскости в отрезках.
 Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде:

и положив a= - D/A, b = -D/B,  c  =  -D/C,  получим  уравнение  плоскости  в
отрезках:

Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ
для М1 имеем

x=a, значит М1(а,0,0)
аналогично получаем:
М2(0,в,0): М3(0,0,с)
Значения  а,в,с  определяют  величину  отрезков,  отсекаемых   П   на   осях
координат.
  38. Расстояние от точки до плоскости
Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,
xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости
расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:
d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13)
обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и т.  О
–начало координат лежат по разные стороны от П,  то  (>0,  а  если  по  одну
сторону, то (<0, ( - отклонение т. М* от плоскости П.
Если П задана общим уравнением, то расстояние от т. М* до П =

  39.   Угол   между   двумя   плоскостями,   условия    параллельности    и
      перпендикулярности двух плоскостей.
П1 и П2 две заданные плоскости
П1: A1x+B1y+C1Z+D1=0
П2: A2x+B2y+C2Z+D2=0
A12+B12+C12>0, A22+B22+C22>0
углом  между  двумя  плоскостями  будем  называть  любой  из  двух   смежных
двугранных углов образованных этими плоскостями.  (в  случае  параллельности
угол между ними равен 0 или П) один из этих  двугранных  углов  =  <(  между
нормальными в-рами: n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2} этих плоскостей.
Отсюда вытекает:

П1 || П2 ( n1 || n2 ( n1=(n2 ( A1=(А2, B1=(B2, C1=(C2
условие параллельности плоскостей
П1 ( П2 ( n1( n2 ( n1(n2=0 ( A1A2+B1B2 + C1C2=0  условие  перпендикулярности
плоскостей.
  40. параметрические уравнения прямой в пространстве.
 Положение прямой в пространстве будет однозначно  определено,  если  задать
т.  М0  на  прямой  (при   помощи   радиус-в-ра   r0,   относит   некоторого
фиксированного  О)  и  направляющего  в-ра  S  (S  (  0),  которому   прямая
параллельна.
Перемещение т. М прямой, соотв ее радиус в-ру ОМ=r ОМ=ОМ0+М0М (1)
М0М||S, M0M=t(S
r=r0+t(S (2)
Введем в пространство прямоугольную декартову  систему  координат,  поместив
начало координат в т. О.
т. М0 имеет коорд. (x0,y0,z0); т. M (x,y,z), напр. в-р S={m,n,k}, тогда  ур-
е записанное в коорд форме:
(3)
Ур-я (2) и (3) наз. параметрическими уравнениями  прямой  в  пространстве  в
векторной  и  координатной   форме    соответственно.   Числа   m,n,k   наз.
направляющими коэффициентами этой прямой.
  41. Каноническое уравнение прямой в пространстве
Уравнение (2), озн. коллинеарность в-ров r-r0 и S может быть  записана  и  в
терминах пропорциональности в-ров.
r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}; S={m,n,k}
(4)
Ур-е (4) наз. каноническим ур-ем прямой в пространстве,  в  нём  x0,y0,z0  –
коорд. Т. М., лежащей на прямой, а m,n,k  –  координаты  направляющего  в-ра
прямой.
Система ур-й (4) определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей.
Также как и для канонического уравнения на плоскости ур-е (4)  говорит  лишь
о пропорциональности координат в-ров: r-r0 и S. Если например m=0,  то  ур-е
переходит в ур-е x-x0=0,  
если m=0 и n=0, то у р-е будет:
x-x0=0, у-у0=0, 
  42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
Еси  на  до  найтить  урювнение  примой  проход.  через  т.  М1(x1,y1,z1)  и
M2(x2,y2,z2)
Для решения в каноническом виде:
Надо знать коорд одной из точек нах на прямой и направляющий в-р. За  т.  на
прямой можно принять любую , например, М1(x1,y1,z1), за направляющий  вектор
прямой –
вектор М1М2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1}
Уравнение искомой прямой следует из ур-я (4):
(5)
  43. Общее уравнение прямой в пространстве. переход к каноническим
      уравнениям
Всякие  две  непараллельные  между  собой  и   не   совпадающие   плоскости,
определяют прямую, как линию их пересечения.
Пусть ур-я этих плоскостей  в  прямоугольной  декартовой  системе  координат
OXYZ:
П1: A1x+B1y+C1z+D1=0
П2:A2x+B2y+C2z+D2=0
рассматриваемые совместно:
(6)
Эти  уравнения  наз.  общими  уравнениями  прямой   L,   являющийся   линией
пересечения этих плоскостей. От  общий  уравнений  прямой  можно  перейти  к
каноническим,  для  этого  надо  знать  какую-нибудь  точку  прямой   и   её
направляющий вектор. точку прямой наёдем из (6), выбирая одну  из  координат
произвольно и решая полученную систему относительно оставшихся 2  координат.
Для  отыскания  направляющего  в-ра  S  прямой,  заметим,  что   этот   в-р,
направленный  по   линии   пересечения   данных   плоскостей   должен   быть
перпендикулярен  нормальным  в-рам  n1={A1,B1,C1}  и  n2{A2,B2,C2}  так  как
векторное произведение n1х n2 перпендикулярно каждому из векторов n1 n2,  то
в качестве напр. в-ра можно взять в-р S= n1х n2.
Найденные координаты подставляются в ур-е (4) 
  44.  Угол  между  прямыми  в  пространстве.   Условия   параллельности   и
      перпендикулярности двух прямых
<(  между  двумя  прямыми   L1,   L2   =   углу   между   направляющими   в-
рами:S1={m1,n1,k1} и S2={m2,n2,k2}, посему:
(8)
Возможные случаи:
1 L1 || L2 отсюда вытекает S1 || S2
(9)
2 L1 ( L2 отсюда вытекает S1 ( S2 = 0( ( m1(m2+n1(n2+ к1(к2=0
  45.  Угол  между   прямой   и   плоскостью.   Условия   параллельности   и
      перпендикулярности прямой и плоскости.
Если дана прямая:

и плоскость:
П: Ax+By+Cz+D=0
<( между прямой и плоскостью  называют  наименьший  из  углов,  образованных
прямой с её проекцией на эту плоскость.
Угол буде равен:
(=углу между нормальным в-ром Плоскости П n и направляющим в-ром прямой S.

возможны случаи:
1 L || П отсюда вытекает S ( n ( S( n = 0
Am+Bn+Ck=0 –уравнение параллельности прямой и плоскости.
2 L1 ( L2 отсюда вытекает n || S
 - уравнение перпендикулярности прямой и плоскости.

-----------------------




?–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†??????????
?"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????
"???–??/?????†???????????"???–??/???