Первичная статистическая обработка информации .

              ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ
                МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
                         МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
                           ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
                             ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

                        Кафедра Прикладной математики



Курсовая работа
защищена с оценкой

________________________

профессор Монсик В.Б.

_________________________
(подпись руководителя, дата)



                        Курсовая работа по дисциплине
              “Теория вероятностей и математическая статистика”



                                 Вариант №39

            Тема: Первичная статистическая обработка информации.
                       Статистическая проверка гипотез


                                              Выполнил студент группы ПМ 2-2
                                                                Митюшин М.С.

                                              ______________________________

                                      (дата, подпись)



                                Москва - 2002
СОДЕРЖАНИЕ

Исходные данные
                                                          3
Задание
                                                                   3
Выполнение первого задания
                                                  4
Выполнение второго задания
                                                  8
Литература
                                                               13



 1. Исходные данные: исследуются трудозатраты на выполнение комплекса
доработок на                                 объекте (в человеко-часах).
Результаты независимых измерений трудозатрат на 100 объектах приведены в
таблице 1.

                                                                   Таблица 1

|Числа    |2        |10       |36       |33       |14       |5        |
|попаданий|         |         |         |         |         |         |
|с.в. в   |         |         |         |         |         |         |
|разряды  |         |         |         |         |         |         |
|    |         |         |         |         |         |         |



                                   Рис.1.

2.5. Статистический ряд распределения строится на базе сгруппированного
ряда. Для этого вычисляются частоты попадания значений x в соответствующие
разряды по формуле:

                                    

Статистический ряд распределения представлен в таблице 4.

                                                                   Таблица 4

|Разряды  |[280..320|(320..360|(360..400|(400..440|(440..480|(480..520|
|    |]        |]        |]        |]        |]        |]        |
|Частоты  |0.02     |0.10     |0.36     |0.33     |0.14     |0.05     |
|    |         |         |         |         |         |         |

2.6. Графической иллюстрацией статистического ряда распределения является
“полигон частот”, представленный на рис.2.



                                   Рис.2.


2.7. Статистический ряд распределения является основой для вычисления и
построения эмпирической плотности вероятности (рис.3). Гистограмма строится
в виде прямоугольников, основания которых равны длинам разрядов, а высоты
определяются из соотношения:

                                    
                   где  длина j-го разряда (j=1..m).

Результаты расчетов по оценке эмпирической плотности вероятности  
приведены в таблице 5, а гистограмма на рис.3.  (dx = 40)

                                                                   Таблица 5

|Разряды        |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|
|          |0]      |0]      |0]      |0]      |0]      |0]      |
|Значения       |0.050   |0.250   |0.900   |0.825   |0.350   |0.125   |
|          |        |        |        |        |        |        |



                                   Рис.3.

3. Выполнение второго задания.

3.1. Вычислим точечные и интервальные оценки математического ожидания
(выборочного среднего значения) и дисперсии (выборочной исправленной
дисперсии) по данным таблиц 1 и 2. сначала определим точечные оценки.

                                    

                                    

                                    

Интервальную оценку математического ожидания (доверительный интервал) при
заданной доверительной вероятности (надежности)  и числе наблюдений
(объеме выборки) n =100 определим по формуле:

                                   ,

где  - точность вычисления МО по результатам наблюдений при заданных
значениях n и .  , где  определяется по таблицам Стьюдента:

                              ==1,984

                                    

Интервальная оценка (доверительный интервал) для МО равна:

                                    

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)
значение МО.
Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (доверительный
интервал) определяется по формуле:

                                   ,
                     где q определяется по таблице 

                            q = q(100;0,95)=0,143

Доверительный интервал для оценки с.к.о. равен

                   42,493(1-0,143)<  <42,493(1+0,143)

                              36,42<<48,57
Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное)
значение с.к.о.

3.2. На основании изучения гистограммы (рис.3) выдвинем гипотезу  о
нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин X  -
трудозатрат на доработки на объекте. Нулевую гипотезу подвергнем
статистической проверке на противоречивость данным, полученным из опыта
(табл.1) по критериям - Пирсона и - Колмогорова.
В соответствии с методом моментов положим параметры нормального
распределения равным оценкам:



3.3. На графиках гистограммы и эмпирической функции распределения (рис.1,3)
построим сглаживающие функции (теоретические кривые) плотности вероятности
и функции распределения в соответствии с их выражениями:

                                    



Для построения сглаживающих кривых используем таблицы нормированной
нормальной плотности вероятности

                                    

и нормированной нормальной функции распределения

                                    

Для входа в таблицы нормируем случайную величину Х по формуле:

                                    

Значения нормированных величин  на границах разрядов, численные
значения сглаживающих кривых на границах разрядов приведены в таблице 6.


                                                                   Таблица 6

|Границы разрядов   |280   |320   |360    |400   |440    |480    |520    |
|              |      |      |       |      |       |       |       |
|              |-2,92 |-1,98 |-1,04  |-0,10 |0,84   |1,78   |2,73   |
|              |0,0056|0,0562|0,2341 |0,3970|0,2803 |0,0818 |0,0096 |
|              |0,013 |0,132 |0,55   |0,93  |0,66   |0,19   |0,023  |
|              |0     |0,024 |0,14917|0,4602|0,79955|0,96246|0,99683|


3.4. Статистическую проверку гипотезы  о нормальном распределении
случайной величины Х по выборке из 100 значений осуществим по двум
различным критериям.

1) Критерий  - Пирсона.

Суммарная выборочная статистика - Пирсона рассчитывается по
результатам наблюдений по формуле:

                                   ,

где  - числа попаданий значений х в j – й разряд (табл.3);
n – число наблюдений (объем выборки);
m – число разрядов;
 - вероятность попадания случайной величины Х в j – й интервал,
вычисляемая по формуле:

                                   ,

где ,  - границы разрядов;
Ф(u) – функция Лапласа.

Результаты расчетов выборочной статистики  приведены в таблице 7.



                                                                   Таблица 7

|№ |            |[280..32|(320..36|(360..40|(400..44|(440..48|(480..52|
|  |            |0]      |0]      |0]      |0]      |0]      |0]      |
|1 |       |2       |10      |36      |33      |14      |5       |
|2 |       |0,0221  |0,1276  |0,3087  |0,3393  |0,1602  |0,0421  |
|3 |       |2,21    |12,76   |30,87   |33,93   |16,02   |4,21    |
|4 | -     |-0,21   |-2,76   |5,13    |-0,93   |-2,02   |0,79    |
|  |       |        |        |        |        |        |        |
|5 |       |0,0441  |7,6176  |26,3169 |0,8649  |4,0804  |0,6241  |
|6 |<5>:<3>     |0,02    |0,597   |0,853   |0,025   |0,2547  |0,1482  |
|7 |       |                                                   |

Проверяем гипотезу   о нормальном распределении генеральной
совокупности значений Х:
1). По таблице - распределения по заданному уровню значимости
=0,10 и числу степеней свободы k=m-2-1=3 (m=6 – число разрядов, 2 –
число параметров нормального распределения ) определим критическое
значение , удовлетворяющее условию:

                                   .

В нашем случае 
2). Сравнивая выборочную статистику , вычисленную по результатам
наблюдений, с критическим значением , получаем:

                                , 
      <- согласуется с данными опыта (принимается).

Вывод: статистическая проверка по критерию - Пирсона нулевой гипотезы
о нормальном распределении значений х генеральной совокупности, выдвинутой
на основании выборочных данных, не противоречит опытным данным.

2). Критерий - Колмогорова.

Выборочная статистика - Колмогорова рассчитывается по формуле:

                                    

                                  где 

модуль максимальной разности между эмпирической  и сглаживающей
функциями распределения.
При заданном уровне значимости =0,10 критическое значение
распределения Колмогорова  Полученной на основании выражения:

                                    

функции распределения статистики - Колмогорова.

Для проверки нулевой гипотезы проведем следующую процедуру:
1). Найдем максимальное значение модуля разности между эмпирической  и
сглаживающей F(x) функциями распределения:

                                =0,063.

2). Вычислим значение выборочной статистики  по формуле:

                           =0,063=0,63.

3). Сравнивая выборочную статистику  и критическое значение 
получаем:

                           =0,63<1,224=.

Следовательно, гипотеза  о нормальном распределении случайной величины
Х согласуется с опытными данными.

3.5. Вероятность попадания значений случайной величины Х на интервал [МО -
с.к.о.; МО + 2*с.к.о.] вычислим по формуле:

    P=(X[404,180-42,493;404,180+2*42,493])=P(X[361,7;489,17])=
                             ==Ф(2)+ Ф (1)=
                             =0,477+0,341=0,818.



ЛИТЕРАТУРА

Монсик В.Б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Пособие к
выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2002. – 24 с..



-----------------------