На Главную

ГДЗ: Английский язык       Алгебра       Геометрия       Физика       Химия       Русский язык       Немецкий язык

Подготовка к экзаменам (ЕГЭ)       Программы и пособия       Краткое содержание       Онлайн учебники
Шпаргалки       Рефераты       Сочинения       Энциклопедии       Топики с переводами

Все темы:"Рефераты по Математике"

О некоторых применениях алгебры матриц .

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова Залина

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /

Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/

Допущена к защите
2002г.

Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/

Нальчик 2002

Оглавление
стр.

Введение 3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в
теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана
теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех
положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается
на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут
быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы
линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит
в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных
уравнений с неизвестными

(1)

Определитель которой отличен от нуля:

(2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

(3)

где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

(4)

- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

- столбец свободных членов системы (1)

Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная
матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и - ее решение)
,
где обратная матрица имеет вид:

(-алгебраическое дополнение элемента в определителе )
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование предполагает владение понятием
алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай
. Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства
(если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через получим формулы Крамера:

()
(Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по
существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с
определителем получается из единичной матрицы заменой -го
столбца столбцом неизвестных:

(5)

Теперь из равенств

где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:

, откуда ввиду имеем

.
(здесь получается из , как и из ).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1)
состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и
числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при
имеем, используя два линейных свойства определителя:

Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных
членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
(),
откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),
производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
.
Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.
Вынесем общий множитель из последней строки:

.
Так как

,
то
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
(2)
не имеет решений в натуральных числах
Доказательство: Если - вещественные положительные числа, не все
равные между собой, то

(3)
Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда
существуют положительные числа и , не все равные между собой,
такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все
числа между собой равны, то последний сомножитель правой части
тождества (1) есть число положительное и, следовательно,
,

. (4)
Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3)
можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее
арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их
среднего геометрического).
Пусть и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
(2). Представляются две возможности: либо числа все равны между
собой, либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае все они должны быть равны 1, так как она
положительные и , и мы имели бы:
- противоречие.
Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу
неравенства (3) имеем

откуда
.
Таким образом, доказано что уравнение

не имеет решений в натуральных числах .

Предложение 2. Уравнение

разрешимо в натуральных числах .
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа
между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство

- противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения
следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .
Поэтому получаем

.
Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много
решений в натуральных числах .

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических
матриц (второго порядка)

где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

. (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число делится на простое число вида
:
.
Требуется доказать, что частное имеет вид .
Предположим, что задача уже решена, т.е.

, (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и .
Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения
матричных равенств.

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем:

(7)

(8)

. (9)

Так как - простое число и делит , то равенство (9)
показывает, что или делится на .
Пусть . Тогда из тождества
,
верного в силу (5) следует, что на делится и число , а поскольку
- простое, , так что в силу (7) - целое число. Таким
образом, в рассматриваемом случае имеем:

и Предложение 4 доказано.
Если же , т.е. в силу (8) - целое, то, рассуждая как и выше,
можем написать:

;
отсюда следует, что , т.е. - целое. В этом случае

§3. Матричный вывод формулы Кардано

В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение

. (1)
Если - его корень, то , поэтому
, т.е. есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех
коэффициентов т правой части на , и обратно. Поэтому (1) эквивалентно
уравнению.

. (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным
1, т.е. уравнения вида

, (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
, (4)
получим:

, т.е.
, (5)
где и определяются по заданным коэффициентам уравнения
(3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через неизвестное,
мы видим, что решение любого кубического уравнения вида

, (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в
силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего
порядка имеет место тождество

, (7)
где - любые числа, - один из корней третьей степени из единицы,
так что (проверка тождества опирается на равенство ). Попробуем
теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
, (8)

т.е. положим

где и пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

которая показывает (в силу теоремы Виета), что и являются
корнями квадратного уравнения

т.е.

и поэтому

(9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором и
определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу
(7) равносильно уравнению

и теперь получаем:
(10)
где и определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что
кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать
с учетом равенства ; если одна пара значений и выбрана
указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения
неизвестного определяются из равенства

т.е.

(11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967
г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.