Иррациональные уравнения и неравенства .

                            МОУ СОШ  «УК №20»



         Иррациональные

 уравнения   и  неравенства


       
                                          реферат    по    алгебре
                                                           ученика  11 «В»
класса
                                                            Торосяна
Левона



                                                  Руководитель:
                                                      Олейникова Р. М.



                               Сочи  2002г.


                                   Содержание.

     I. Введение

    II. Основные правила

   III. Иррациональные  уравнения:
         . Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
         . Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
         . Решение сложных иррациональных уравнений.

    IV. Иррациональные неравенства:
         . Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
         . Решение нестандартных иррациональных неравенств.
         . Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

     V. Вывод

    VI. Список литературы



I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик  11 «В» класса, выполнил реферат по теме:
«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является  то,  что  в  школьном  курсе  на  решение
иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а  ВУЗовские  задания
вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в  школьном  курсе  не
рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.


Я  самостоятельно  изучил  правила  решения   иррациональных   уравнений   и
неравенств.


В реферате  показаны  решения  как  иррациональных  уравнений  и  неравенств
стандартного  типа,  так  и  повышенной  сложности.  Поэтому  реферат  можно
использовать как учебное пособие  для  подготовки  в  ВУЗ,  также  рефератом
можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.



II. Иррациональные  уравнения
Иррациональным называется уравнение, в  котором  переменная  содержится  под
знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При  возведении
в  четную  степень  возможно  расширение   области   определения   заданного
уравнения. Поэтому при решении таких  иррациональных  уравнений  обязательны
проверка  или  нахождение  области  допустимых   значений   уравнений.   При
возведении  в  нечетную  степень  обеих  частей  иррационального   уравнения
область определения не меняется.
Иррациональные  уравнения   стандартного  вида    можно   решить   пользуясь
следующим правилом:
                                                
                                                          
                                                 

       Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение   = x – 2,
Решение.
 = x – 2,
2x       –        1        =        x2        –        4x        +        4,
                 Проверка:
x2           –           6x           +           5           =           0,
           х = 5,       = 5 – 2,
x1                                   =                                    5,
                                          3 = 3
x2           =           1            –            постор.            корень
    х =  1,      1 – 2 ,
Ответ:                                                                     5
     пост. к.            1 -1.


б) Решить уравнение   = х + 4,
Решение.
 = х + 4,




Ответ: -1


в) Решить уравнение  х – 1 = 
Решение.
 х – 1 = 
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,
                                         (х – 2)2 = 0,
                                          х = 2
Ответ: 0; 2.


г) Решить уравнение  х –  + 4 = 0,
Решение.
х –  + 4 = 0,
х                +                4                 =                 ,
Проверка:
х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                           х  =  11,
         11 –  + 4 = 0,
х2          –          17х           +           66           =           0,
                             0 = 0
х1                                   =                                   11,
 х = 6,               6 –  + 4 = 0,
х2                                   =                                    6.
                                     0 = 0.
Ответ: 6; 11.

            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:

    . Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение  = 
Решение.
    =    ,                                                  –
       +

                                x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

           или             

                                                             

                              

                      
                                                                       


Ответ: 


б) Решить уравнение  
Решение.
,                                                           –
            +
                x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

            или             
                           
                                          
                                                       

Ответ:   .

    . Иррациональные  показательные  уравнения:

а) Решить уравнение  

Решение.

             ОДЗ:  

Пусть   = t,   t  > 0

Сделаем  обратную  замену:
 = 1/49,                             или                  = 7,
 = ,                                                       
– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.
Ответ: 3


б) Решить уравнение    

Решение.

Приведем  все степени к одному основанию  2:



данное уравнение равносильно уравнению:



Ответ:  0,7



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить  уравнение   
Решение.
 возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
x –1 = 
x                                      Проверка:
x                      x = 3,      
4x
      1 = 1.
                                    x = 1,75   

Ответ: 3.



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной
      степени:
Решить  уравнение  
Решение.
 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

 но  , значит:

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб
(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.


    . Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:


а) Решить уравнение  

Решение.

Пусть  = t,   тогда  = ,   где   t > 0
t – 

Сделаем обратную замену:
= 2, возведем  обе  части  в  квадрат
                        Проверка:  x = 2,5      
Ответ:  2,5.

б) Решить  уравнение  
Решение.

Пусть  = t,   значит = ,   где  t > 0
t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:
 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x + 8 = 16,
Проверка:
x = 8,                                                             x =
2,        
x = 2.
                     6 = 6
Ответ:  2.



в) Решить  уравнение   
Решение.


Пусть   = t,   где   t  > 0

Сделаем обратную замену:
 = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат
                          Проверка:         
                                                               ,
        

Ответ: –5; 2.


             Решение сложных  иррациональных уравнений:

    . Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:
Решить уравнение  
Решение.
  возведем  обе  части уравнения в  куб

 возведем обе  части  уравнения в  квадрат

Пусть   = t
t 2– 11t + 10 = 0,
  
Сделаем  обратную  замену:
Проверка:
= 10,                          или          = 1,
   x = , 
x = -пост. корень                     
                         0  
Ответ:   1.
 x = 1,   
                                      1 = 1
    . Иррациональные  логарифмические уравнения:
а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,
lg(3 = lg,
Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:




Ответ: 32,75

б) Решить  уравнение  
Решение.



                               
Ответ:  ; – 2; 3.
  IV. Иррациональные неравенства
Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит
под  знак  корня (радикала).
Иррациональное  неравенство  вида  равносильно системе неравенств:

Иррациональное  неравенство  вида  равносильно совокуп-ности двух
систем неравенств:
          и           



    Решение иррациональных неравенств стандартного вида:


а) Решить  неравенство 
Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


                         

           +                –                     +

Ответ:     [1; 2).
                                          1                3
        x
б) Решить неравенство 
Решение.

Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:

                                          

Ответ:         


в) Решить неравенство 
Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


                                                  


Ответ:  нет решений


Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство 
Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


Ответ:   


б) Решить неравенство
Решение.

Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:







                                           

Ответ:     

    . Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при
      умножении и делении:

а) Решить неравенство 
Решение.

Учитывая то, что  и правило знаков при делении данное  неравенство
 равносильно  системе  неравенств:

                                        

Ответ: 

б) Решить неравенство (2x – 5)
Решение.
(2x – 5)

Учитывая то, что   и правило  знаков  при  делении  данное  неравенство
равносильно  системе  неравенств:

                                                       
Ответ:  


    . Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство  
Решение.

,
 сгруппируем  по  два  слагаемых


 вынесем общий множитель за скобку
 учитывая, что  > 0 и правило знаков при
 умножении  данное неравенство равносильно  системе  неравенств:

                                                       

Ответ:  ( 0; 1 )



    .    Иррациональное   неравенство,   содержащее   два   знака
      иррациональности:

Решить  неравенство 
Решение.



Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:


                                                               

Ответ: 


    . Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить  неравенство 
Решение.


Пусть  = t, тогда   = ,     t  > 0






            



Сделаем  обратную  замену:

возведем в  квадрат  обе  части  неравенства







Ответ: 



        Решение иррациональных неравенств смешанного вида:


    . Иррациональные  показательные  неравенства:
а) Решить  неравенство 
Решение.
,
 т.к.  y = 0,8t  ,  то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x – 4 < 0,
f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ,                                                          +
          –                 +
Нули функции:  x1 = 4;   x2 = – 1.                                      –1
                 4               x

Ответ: х


б) Решить  неравенство  4– 2 < 2– 32
Решение.
4– 2 < 2– 32,                            ОДЗ:  x > 0
2– 2 2 < 2 24 – 25, выполним  группировку
слагаемых
2(2– 2) – 24(2–2) < 0,
(2– 2)  (2– 24) < 0, учитывая  правило  знаков   и  ОДЗ
данное  неравенство равносильно 2-м системам:

                        или                          
  
т.к. y = 2t , то                                       т.к.
y = 2t , то
                                                               

                                                                 



Ответ: х



    . Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить  неравенство   

Решение.

 уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств






                                             

Ответ:  

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения  и   неравенства
следующих  типов:  стандартные,  показательные,  содержащие   знак   модуля,
логарифмические, повышенного уровня.
Примеры  взяты и подробно разобраны не только из школьной  программы,  но  и
из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова  при  МГУ,  из  сборника
задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может  быть  интересен  и  полезен  выпуск  –  никам  школ   и
абитуриентам  технических  вузов.

                                        


VI. Список  литературы

   1) Алгебра  и  начала   анализа.   Под  редакцией
      А.Н. Колмогорова
   2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы:             Е.Д. Куланин,
       В.П. Норин
   3) Справочные материалы по математике. Авторы:                   В.А.
      Гусев,  А.Г. Мордкович
   4) Сборник задач по математике. Под  редакцией              М.И. Сканави
   5) Справочный  материал


-----------------------