Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора .

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я
считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) ,
задано некоторое распределение с функцией распределения и
— произвольная с. в., имеющая распределение .

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. при сходится слабо или по
распределению к с. в. и пишут: , или , или ,

если для любого такого, что функция распределения непрерывна в
точке , имеет место сходимость при .

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций
распределения во всех точках непрерывности предельной функции
распределения.

Свойство 1.

Если , и функция распределения непрерывна в точках и ,
то

и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции
распределения имеет место, например, сходимость , то .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если , то .

2. Если , то .

Свойство 3.

1. Если и , то .

2. Если и , то .

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но
основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное
и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм
независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам
центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901),
но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для
последовательности независимых и одинаково распределенных случайных
величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых
случайных величин: .

Тогда последовательность случайных величин слабо сходится к
стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть — последовательность независимых и одинаково распределенных
случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через
математическое ожидание и через — дисперсию .
Требуется доказать, что

Введем стандартизированные случайные величины — независимые с.в. с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть
есть их сумма . Требуется доказать, что

Характеристическая функция величины равна

Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в
коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим
к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального
закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой
сходимости :

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному
распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что
функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на
, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.

Пусть — независимые и одинаково распределенные случайные величины с
конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг
другу и равносильны утверждению ЦПТ.
. Для любых вещественных при имеет место сходимость

. Для любых вещественных при имеет место сходимость

. Если — произвольная с. в. со стандартным нормальным
распределением, то

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра — Лапласа.

Пусть — событие, которое может произойти в любом из независимых
испытаний с одной и той же вероятностью . Пусть — число
осуществлений события в испытаниях. Тогда .

Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость

Доказательство.

По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в.,
имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха
:

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1.

З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на
одну сотую.

Р е ш е н и е. Требуется найти , где , — число выпадений
герба, а — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение
Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком
вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного
слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим
произвольную с. в. , имеющую распределение .

Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в
страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь
(размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет
существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику
(величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и
дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев
значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы
распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив
его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение
суммарного иска) как =

- где , - среднее значение числа страховых случаев и величины
страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr:
Тr = [(Т0(()/(()](((DQ + 2(DN) 0.5
- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых
случаев.
В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их
дисперсия равна нулю), имеем:
Тr = (Т0(()/N0.5
Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации
уровня страховых выплат значительно меньше единицы.
При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая
величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей
представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в
отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная
величина всех рисковых надбавок.