Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний .

2. Математические модели электромеханических систем в пространстве
состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов
ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью
дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе
физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную
нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем
напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала
двигателя y(t)=((t). Уравнение электрической цепи имеет вид
,
где - противо ЭДС, - угловая скорость вала двигателя, -
единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид

где , J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f -
коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=(, x3=(.
Получим
,
.
Запишем эти уравнения относительно переменных , ,
,
,
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где
, , .
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
постоянного тока

Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей
собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим
демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения
x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем
из уравнения равновесия сил

где - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения, - сила
сопротивления демпфера, - сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и - перемещение и
скорость перемещения соответственно.

Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину,
массу и вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и
количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение
движения груза можно записать в виде двух уравнений

где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода

Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной
механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде

,
.

Запишем это уравнение в другом виде
,
,
где , , , , .
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную
схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.

Рис. 2.3. Структурная схема

Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния
RLC цепи

Рис. 2.4. RLC цепь

Динамическое поведение этой электрической системы полностью
определяется при t(t0, если известны начальные значения: i(t0), ec(t0) и
входное напряжение e(t) при t(t0, следовательно, эта система полностью
определяется переменными состояния i(t) и ec(t). При указанных переменных
состояния i(t) и ec(t) имеем следующие уравнения

где , .

Введем следующие обозначения

В соответствии с этими обозначениями получаем

причем .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-
матричном виде
,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где , , , .