Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке




  Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются   в
поперечном   направлении   (перпендикулярно   направлению    ветра)    из-за
образования  вихрей  на  боковых  к  ветру  сторонах.  Результатом  является
образование вихревой дорожки называемой  дорожкой  Кармана.  В  определенном
диапазоне скоростей ветра и  диаметров  поперечного  сечения  цилиндрических
конструкций образование и сход вихрей происходят с  постоянным  периодом  по
времени, следовательно на конструкцию действует  периодическая  возбуждающая
колебания  сила.  Когда  частота  схода  вихрей  приближается  к  одной   из
собственных  частот  конструкции  возникают  резонансные  колебания.  Из  за
изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются  колебания
по направлению ветра но основной интерес представляют  именно  поперечные  к
ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний  будет  возрастать  до  тех
пор пока энергия, рассеиваемая в результате  демпфирования  не  будет  равна
энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом  конструкции  обладающие
слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.
  Процесс   образования   вихрей   на   боковых   по   ветру   поверхностях
цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При  очень  малых
числах  Рейнольдса  течение  в  непосредственной  близости   к   поверхности
цилиндра будет мало отличаться от идеального течения  и  образования  вихрей
не будет. При несколько больших значениях (до Re =  40)  течение  отрывается
от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше  Re  =  40  симметрия
вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода  вихрей  с
противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является  переходным,  в
нем течение меняется  от ламинарного к  турбулентному  в  области  свободных
вихрей  сорвавшихся  с  поверхности  цилиндрической  конструкции.   В   этом
диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности  меняется
не  периодично  из-за  турбулентности  течения.   Апериодичность   изменения
скорости  аргументируется  турбулентностью  природного  ветра.   Результатом
таких флуктуаций является то,  что  амплитуды  подъемной  или  боковой  силы
являются в некоторой степени случайными, эта  случайность  становится  более
выраженной с увеличением числа Рейнольдса.
  Периодичность вихревого следа характерна для диапазона  от  Re  =  40  до
3*105. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на  передней
к ветру поверхности  изменяется  от  ламинарного  к  турбулентному  и  точка
отрыва  вихрей  смещается  назад  по  потоку.  В  результате  резко   падает
коэффициент  лобового  сопротивления  и  след  становится  более  узким   и,
вероятно, апериодичным.  Следовательно  частота  схода  вихрей  и  амплитуда
подъемной силы становятся случайными.
  Частота,  с  которой  вихри  отделяются  от  поверхности   цилиндрической
конструкции,  обычно  характеризуется  безразмерной   величиной   называемой
числом Струхаля Sh:

                                    

где n – частота отделения вихрей, d  –  характерный  размер,  V  –  скорость
ветра. Когда сход вихрей является периодичным,  n  –  частота  этого  схода,
если же  сход  является  случайным  необходимо  говорить  об  энергетическом
спектре, а не об одной частоте.
  Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная
спектральная плотность подъемной силы

                                    

по аргументу ; 



Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать
выполнения условия =Ёормировки , то

                                    

                                    


                                    

n – частота на графиках в герцах.
 для больших чисел Re (по Фыну).



В связи с тем, что  задается по частоте в [Гц], в выражении 
после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в
формулу входит  .

  Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня.  При
выводе  уравнений  поперечного  колебания  мы  будем  предполагать,  что   в
недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и  совпадает  с
линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось  мы
примем  за  координатную  ось  z  и  от  нее  будем  отсчитывать  отклонения
элементов стержня при поперечных колебаниях. При  этом  будем  считать,  что
отклонение  отдельных  точек  оси  стержня  происходят   перпендикулярно   к
прямолинейному, недеформированному ее  направлению,  пренебрегая  смещениями
этих точек, параллельными оси.
  Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных
колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в
том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в
пределах пропорциональности.
  При таких предположениях отклонения  точек  оси  стержня  при  поперечных
колебаниях  однозначно  определяются  одной  функцией  двух   переменных   –
координаты z и времени t:
                                   .
  Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных
производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим
образом.
  Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек2/см2), через  EJ
– жесткость на прогиб [ E (кг/см2) – модуль  упругости,  J  (см4)  –  момент
инерции  поперечного  сечения  стержня  относительно  поперечной   оси.   На
стержень  действует  распределенная   поперечная   нагрузка,   интенсивность
которой мы обозначим через .
  Кинетическая энергия  колеблющегося  стержня  есть  кинетическая  энергия
поперечных смещений элементов стержня
                                   .
  Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых:
  а) потенциальной энергии  упругой  деформации  (работа  восстанавливающих
упругих сил)
                                   ;
  б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки 
                                   .
          Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид
                                    
  Уравнение  поперечных  колебаний  стержня  мы   получим,   составив   для
функционала S уравнение Эйлера:
                                      .
                                    
  Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки
                                    
  с граничными условиями
  при z = 0:
                                    
                            консольное защемление
  при :
                                    
        отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце;
  будет иметь  вид:
                                    

  - для первого тона.



                                   (1)

примем                   (Метод Бубнова-Галеркина)







Тогда:     где - собственная частота I-ого тона.
Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование
(как логарифмический декремент, равен 0,005).






                         - случайная функция





       

В выражении  величину 

;



 





Интегрирование от 0 до 100
В величину  частота входит в герцах, поэтому



Веса единицы объема кожуха(сталь)  и футеровки 
Средняя площадь футеровки  и кожуха тубы 
Погонная масса трубы 
Аппроксимация формы   при  , , тогда  ;


Тогда 




Независимость  q  от  нормировки  f(z)   связана   с   тем,   что   линейное
дифференциальное уравнение  для  q  зависит  от  правой  части,  знаменатель
зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.
  (чем больше f(l), тем меньше q при  )







Тогда 

Уравнение для q будет иметь вид: